สวัสดีครับ น้องๆ ทุกคน Newsletter ฉบับนี้เป็นฉบับที่ 2 โดย Math Inter Dr. Pok ซึ่งออกมาเร็วสักเล็กน้อย เนื่องจาก การตอบรับที่ดี ในฉบับแรก ที่มีน้องๆหลายคน รวมถึง ผู้ปกครองของน้องๆ หลายท่าน ได้ติชมแนะนามาทาง E-mail โดยส่วนใหญ่ให้ Dr. Pok ช่วยเป็นสื่อกลางในการรวบรวมข้อมูลต่างๆ เกี่ยวกับการสอบวิชาคณิตศาสตร์ สาหรับการสอบ อาทิ CU-AAT (Chulalongkorn University Academic Aptitude Test) SAT (Scholastic Aptitude Test and Scholastic Assessment Test) หรือ IGCSE (International General Certificate of Secondary Education) เป็นต้น และในจานวนนี้มีนักเรียนหลายคนที่กาลังจะสอบ SAT ในวันเสาร์ที่ 4 ธันวาคม 2553 รวมถึงน้องๆ นักเรียนที่กาลังจะสอบ CU-AAT ในวันอาทิตย์ที่ 19 ธันวาคม 2553 ได้ระบุถึงปัญหาการทาข้อสอบคณิตศาสตร์ ซึ่งส่วนใหญ่จะมีปัญหาอ่านโจทย์ไม่เข้าใจ Dr. Pok ขอแนะนาให้น้องๆ ฝึกทาโจทย์บ่อยๆ จากข้อสอบเก่าๆ ของ SAT ทั้ง SAT I และ SAT II หรือแม้แต่ข้อสอบอื่นๆ อาทิ IGCSE ที่น้องๆ นักเรียนบางคนมีความจาเป็นต้องสอบเช่นกัน ส่วนปัญหาอีกประการหนึ่งคือ การทาข้อสอบไม่ทัน ในฉบับนี้ Dr. Pok จะขอแนะนาเทคนิคบางประการเพื่อช่วยให้น้องๆ สามารถทาข้อสอบครบทุกข้อได้ทันเวลา สุดท้ายนี้ Dr. Pok ขอให้น้องๆ ทุกคนที่กาลังจะเข้าสู่สนามสอบในสองสัปดาห์ข้างหน้านี้ บรรลุจุดมุ่งหมายทุกประการ

เทคนิคการทำข้อสอบ

อย่างที่น้องๆ ทราบกันว่า ข้อสอบคณิตศาสตร์ ใน CU-AAT หรือ SAT เป็นข้อสอบที่ไม่ยากมากนัก แต่สิ่งที่สาคัญคือจะทาอย่างไรจึงจะได้คาตอบที่เร็วและถูกต้อง เนื่องจากถ้าทาช้าก็จะทาให้น้องๆ ทาข้อสอบได้ไม่ทัน แต่ถ้าทาเร็วเกิดความผิดพลาดน้องๆ ก็จะถูกหักคะแนนจากคาตอบที่ผิด ในฉบับนี้ Dr. Pok ขอแนะนาเทคนิคที่สาคัญ ๆ ดังต่อไปนี้
1. เรียนคณิตศาสตร์โดยอาศัยความเข้าใจ
ส่วนนี้เป็นส่วนสาคัญที่สุด โดยน้องๆ ต้องเริ่มจากการเรียนในห้องเรียน การเรียนวิชาคณิตสาตร์ หรือ วิชาที่มีการคานวณอื่นๆ อาทิ วิชาฟิสิกส์ วิชาเคมี ถ้าน้องๆ คิดว่าการเรียนวิชาเหล่านี้น้องๆ ต้องจาสูตรให้เยอะๆ และ แม่นยา เพื่อนาสูตรมาแทนค่า และหาคาตอบ วิธีการเรียนดังกล่าวเป็นวิธีการที่ไม่ถูกต้อง สิ่งที่ถูกต้องก็คือ น้องๆ ต้องเรียนโดยเน้นที่แนวคิด และกระบวนการในการค้นหาคาตอบ และท้ายที่สุด น้องๆ จะเห็นรูปแบบการได้มาซึ่งคาตอบ และนาไปสู่สูตรต่างๆ ข้อดีก็คือ น้องๆ ไม่จาเป็นต้องจาสูตร เพราะสูตรเป็นผลพลอยได้จากกระบวนการหาคาตอบเท่านั้น นอกจากนี้ถ้าข้อสอบที่ออกมามีการประยุกต์หรือดัดแปลงสูตรบางประเภทที่น้องๆ เคยท่องจากันจนขึ้นใจ อาจจะไม่สามารถช่วยให้น้องๆ หาคาตอบได้ แต่ถ้าน้องๆ เรียนด้วยความเข้าใจอย่างแท้จริง น้องๆ ก็จะมีโอกาสทาข้อสอบประเภทที่มีการประยุกต์ได้มากขึ้น

Example 1: Given two points (3, 5) and (7, 8), find the distance between these two points.

จากโจทย์ดังกล่าว ต้องการหาระยะทาง ระหว่าง 2 จุด ถ้าน้องๆ เริ่มต้นเสียงดังจากสูตรว่า Dr. Pok ก็ขอชื่นชมน้องๆ ว่าน้องๆ มีความจาที่ดีมาก แต่สิ่งที่ Dr. Pok ต้องการจะบอกให้น้องๆ ทราบคือ ถ้าโจทย์ข้อนี้ น้องๆมองโจทย์ และใช้การวาดรูป ผสมกับ Pythagorean Theorem และหาระยะห่างระหว่าง 2 จุด ได้ นั่นคือการที่น้องๆ กำลังจะทำความเข้าใจพืน้ ฐานของโจทย์มากกว่าการท่องสูตร และสิ่งที่น้องๆ จะได้รับคือถ้าโจทย์ข้อดังกล่าวถูกประยุกต์เป็น 3 มิติ น้องๆที่เข้าใจหลักการข้างต้นก็จะสามารถทาข้อดังกล่าวได้

Example 2: In the figure above, due to 3 dimensions, given two points (3, 5, 1) and (7, 8, 13), find the distance between these two points.

น้องๆ พอที่จะทราบว่าเราสามารถใช้ Pythagorean Theorem ใน การหาระยะทาง ของจุดสองจุดในระบบ 3 มิติได้ดังนี้

1. พิจารณาเฉพาะระยะทาง d1 บนระนาบ xy โดยอาศัย Pythagorean Theorem จะได้ ซึ่งจากรูปเราจะเห็นว่า d1 มีค่าเท่ากับ d2 = 5
2. พิจารณาระยะทาง d3 ซึ่งเกิดตามแนวแกน z เราจะได้ d3 = 13 – 1 = 12.
3. จากนัน้ เราสามารถหา d โดยใช้ Pythagorean Theorem เมื่อ เราทราบค่า d2 และ d3 จะได้

แต่ถ้าน้อง ๆ พิจารณาให้ดีแล้ว น้องๆ จะเห็นว่า “5” นัน้ มาจาก ในขัน้ ตอนที่ 1 และ “12” มาจาก (13 – 1) ในขัน้ตอนที่ 2 และเมื่อเราแทนค่ากลับเข้าไปเราจะได้

นั่นหมายความว่าต่อไปถ้าเราทราบจุด 2 จุดบนกราฟ 3 มิติ คือ (x1, y1, z1) และ (x2, y2, z2) เราจะได้สมการระยะทางดังนี ้

โดยโจทย์ตัวอย่างทัง้ สองข้อข้างต้น Dr. Pok ต้องการชีใ้ ห้น้องๆ เห็นว่าถ้าน้องๆ เรียนเลขอย่างเข้าใจ น้องๆ ก็จะสามารถทาโจทย์ที่มีความหลากหลายได้มากขึน้ และสงิ่ ที่น้องๆ จะได้มาภายหลังจากการเรียนอย่างเข้าใจ ก็คือสูตรนั่นเอง ซึ่งถ้าวันหนึ่งน้องๆ เกิดเห็นโจทย์แล้วจาสูตรได้น้องก็จะทาข้อดังกล่าวได้รวดเร็ว แต่ถ้า น้องๆ เกิดลืม หรือไม่มนั่ ใจน้องๆ ก็สามารถหาคาตอบเองได้โดยไม่ต้องพึ่งพาสูตรอีกด้วย

2. กระบวนการตัดตัวเลือก
อย่างที่น้องๆ ทราบกันดีข้อสอบ SAT ในส่วนของวิชาคณิตศาสตร์ส่วนหนงึ่ เป็นข้อสอบปรนัย นักเรียนสามารถเลือกได้ตัง้ แต่ข้อ A ถึง ข้อ E แต่เนื่องด้วยเวลาที่จากัดในบางครัง้ เรามีความจำเป็นต้องใช้กระบวนการตัดตัวเลือกดังนี้

Example 3: If x is an integer and 2x – 5 = 25, what is the value of 2x + 5 (A) 15 (B) 20 (C) 25 (D) 30 (E) 35

เป็นที่แน่นอนไม่มีใครทาข้อนีไ้ ม่ได้ครับ ด้วยวิธีแก้สมการทุกคนสามารถหาคำตอบที่ถูกต้องได้ดังนี้

สำหรับ “2x – 5 = 25” แล้ว ได้ค่า x เท่ากับ 15 แล้วนาค่า x ไปแทนใน “2x + 5” ซึ่งจะได้ คาตอบเป็น 35 แต่ Dr. Pok ขอแนะนาวิธีการที่จะให้ได้คำตอบเร็วขึ้น สาหรับข้อนี้ ถ้า 2x ลบออกด้วย 5 แล้วได้ 25 น้องๆ ต้องคิดออกทันทีว่าไม่มีทางที่ 2x + 5 จะได้คาตอบน้อยกว่าหรือเท่ากับ 25 ได้เลย เพราะฉะนัน้ ข้อ A ถึงข้อ C ต้องตัดทงิ ้ จึงเหลือข้อ D และ ข้อ E แต่ถ้าน้องๆ ดูให้ดี 2 คูณจำนวนใดๆ ก็ตามต้องได้เลขคู่ และจำนวนคู่บวกกับเลข 5 ที่เป็นจานวนคี่ คำตอบต้องเป็นจานวนคี่ ดังนัน้ คาตอบคือ 35 นี่แหละครับคือสงิ่ ที่ SAT หรือแม้แต่ CU-AAT อยากได้ เพราะ น้องๆ ที่จะทาโจทย์แบบนีไ้ ด้โดยใช้วิธีคิดแบบนี ้ ต้องมีความเข้าใจเลขอย่างลึกซึง้ และสงิ่ ที่ได้คือการใช้เวลาในการหาคาตอบที่เร็วกว่าคนที่คิดออกมาแบบตรงๆ โดยไม่ได้เข้าใจอะไรมาก หรือจาแต่สูตรเข้ามาสอบ

3. กระบวนการแทนค่า
ในบางครัง้ น้องๆ ต้องมีสติในการทาข้อสอบ ไม่จาเป็นต้องทำข้อสอบแบบแสดงวิธีทาเต็มรูปแบบ แต่หลายๆ ข้อคาถามในข้อสอบน้อง ๆ อาจจะใช้การแทนค่าได้ครับ

Example 4: What is the largest integer value of x that satisfies the inequality   (A) 3 (B) 4 (C) 4.55 (D) 5 (E) 6
ก่อนอื่นน้องๆ สามารถใช้การตัดตัวเลือกได้ก่อนเลย เนื่องจาก 4.55 ไม่ใช่ Integer ดังนัน้ ข้อ C จึงต้องตัดทงิ ้ เพราะ โจทย์ ต้องการ integer value หน้าที่ของน้องๆ คือเอาคาตอบใน ข้อ A B D และ E ไปแทนในอสมการ ซึ่งน้องๆ จะได้คาตอบคือ x เท่ากับ 3 และ 4 ทาให้อสมการเป็นจริง แต่ 4 เป็น the largest integer value ดังนัน้ ข้อ B จึงเป็นคาตอบ น้องๆ จะเห็นว่าถ้าเรา นาเอาเทคนิคอื่นๆ มาช่วยคิดในแต่ละข้อ อย่างเช่นในข้อนีน้ ้องๆก็ไม่จาเป็นต้องแทนค่าข้อ C ซึ่งจะช่วยลดเวลาในการทาโจทย์ได้ด้วย แต่น้องๆ คิดหรือเปล่าว่าทาไมข้อสอบ SAT ถึงมีตัวเลือก C ที่เป็นคาตอบ 4.55 นั่นก็เพราะว่าน้องๆ ส่วนใหญ่เมื่อเห็นโจทย์แล้วรีบลงมือทาอย่างทันที โดยพยายามแก้อสมการของ และได้ว่า x < 4.55 และน้องๆ ก็จะเลือกข้อ C โดยทันที โดยไม่ทันกลับไปดูโจทย์ว่าต้องการ integer value

4. ตั้งสติอ่านคำถามให้เข้าใจ
จากตัวอย่างที่ 3 ถ้าน้องคนไหนไม่ทันระวังก็จะรีบตอบข้อ C ซึ่งเท่ากับ 4.55 หรือถ้าน้องคนไหนใช้การแทนค่าแล้วพบว่า คำตอบข้อ A ทาให้อสมการ นีเ้ป็นจริง แล้วรีบตอบข้อ A ก็จะทาให้ข้อนีผิ้ดอย่างน่าเสียดาย เพราะว่าคาตอบข้อ B ก็ทาให้อสมการนีเ้ป็นจริงเช่นกัน แต่โจทย์ต้องการ the largest integer value เป็นต้น

โดยสรุปแล้ว Dr. Pok ขอเตือนน้องๆ ทุกคนว่าอย่าประมาทกับ ข้อสอบประเภท SAT หรือ CU-AAT ซงึ่ ข้อสอบเหล่านีดู้เหมือน ง่าย ซงึ่ ใครๆ ก็สามารถหาคาตอบที่ถูกต้องได้ทัง้ นัน้ แต่คนที่จะทำคะแนนได้ดีภายในเวลาที่กาหนด ต้องมีความรู้คณิตศาสตร์อย่างลึกซึง้ เข้าใจถึงทฤษฎี และนาเทคนิคที่ Dr. Pok แนะนามาใช้เพื่อหาคำตอบได้อย่างรวดเร็ว และแม่นยามากขึน้ เท่านี ้ SAT หรือ CU-AAT ในส่วนของคณิตศาสตร์ 800 คะแนนเต็มก็เป็นสิ่งที่ไม่ยากสาหรับน้องๆ ทุกท่าน สุดท้ายนีถ้ ้าน้องๆ หรือ ผู้ปกครองท่านใดมีคาถาม หรือต้องการให้ Dr. Pok อธิบายโจทย์ที่น้องๆ ยังคงมีปัญหา ขอให้ส่งคาถามมาได้ที่ E-mail dr.pok@hotmail.com Dr. Pok จะทยอยตอบให้ใน newsletter ฉบับถัดๆ ไป แต่ถ้าคาถามด่วน หรือน้องๆ ไม่สามารถรอได้ Dr. Pok ก็จะตอบให้ทันทีผ่านทาง E-mail ของน้องๆ ครับ