สวัสดีครับน้องๆ เมื่อเดือนมกราคมที่ผ่านมาเราเพิ่งเฉลิมฉลองกับเทศกาลปีใหม่แบบฉบับสากล สาหรับเดือนกุมภาพันธ์นี้เราก็ได้มาร่วมเฉลิมฉลองปีใหม่กันอีกครั้งในแบบฉบับจีน แน่นอนครับกับเทศกาลตรุษจีน สาหรับน้องๆ ที่มีเชื้อสายจีน หรือไม่มีเชื้อสายจีนก็ตาม Dr. Pok ก็ขอกล่าว “ซินเจียยู่อี่ ซินนี้ฮวดไช้ สุขสันต์ วันตรุษจีนครับ” และ Dr. Pok ก็ขอให้น้องๆ ทุกคนที่กาลังเตรียมตัวกับการสอบไม่ว่าจะเป็น CU-AAT SAT IGCSE GED ACT
รวมถึง PAT และ GAT และการสอบอื่นๆ ที่จะเกิดขึ้นในปี พุทธศักราช 2554 นี้ ขอให้น้องๆ า ในฉบับนี้ Dr. Pok ขอแสดงความยินดีและชื่นชมกับน้องทรายครับ น้องทรายเป็นหนึ่งในนักเรียนที่ได้อ่าน Newsletter
ของ Dr. Pok โดยน้องทรายได้เขียนมาเล่าประสบการณ์การเตรียมตัวสอบให้ฟัง Dr. Pok เห็นว่ามีประโยชน์มากกับน้องๆ ทุกคน ดังนั้นใน Newsletter ฉบับนี้ Dr. Pok ก็ขออนุญาตินาข้อคิดดีๆ ของน้องทราย มาให้กาลังใจกับน้องๆ นะครับ

จดหมายจากน้องทราย

อย่างที่ น้องทราย เป็นหนึ่งในนักเรียนที่ได้อ่าน Newslette ข ง และได้เขียนเล่าประสบการณ์มาให้ฟังครับ
ข้อความใน E-mail ของน้องทราย:
สวัสดีค่ะ อาจารย์ Pok หนูก็ไม่รู้จะเรียกอาจารย์ว่าอะไรเลยขอเรียกอาจารย์ว่าอาจารย์ละกันนะคะ หนูไม่เคยได้เรียนกับอาจารย์หรอกค่ะ แต่หนูเป็นนักเรียนที่โชคดีที่ได้มีโอกาสอ่าน Newslette ข ง เลยค่ะว่าสุ ก่อนอื่นหนูขอแนะนาตัวเองก่อนนะคะ หนูชื่อ ทราย ค่ะ เป็นนักเรียนชั้น ม. 6 ได้เริ่มสอบ CU-AAT มาหลายครั้ง ตั้งแต่ชั้น ม. 5 หนูไม่ได้เรียนโรงเรียน Inter นะคะ ทาให้อ่านโจทย์ข้อสอบได้ช้า ก่อนสอบ CU-AAT หนูได้เคยลองทาข้อสอบ SAT รู้สึกว่าง่ายมาก และหนูก็พอรู้มาว่าข้อสอบ CU-AAT วิชาเลข ก็ง ง รู้จะอ่านอะไรไปสอบ เกือบ 5 ครั้งได้มั้งคะ แต่สอบทีไรคะแนนหนูก็ไม่เห็นจะดีขึ้นเลย ได้คะแนนเลขอยู่ประมาณ 450 คะแนน ต่าสุดที่หนูเคยได้ ถึงขั้นเปลี้ยเลยคือ 370 กว่า หนูก็หลอกตัวเองมาตลอดว่า อาจจะเป็นเพราะหนูอ่านภาษาอังกฤษไม่ออก แต่พอได้อ่าน Newslette ของอาจารย์ตั้งแต่ฉบับแรก หนูลองทำอย่างที่อาจารย์บอกค่ะ ไม่ได้คานวณแบบดุ่ย ๆ เพื่อให้ได้คาตอบเหมือนที่เคยทามา แต่ในการเตรียมตัวครั้งนี้หนูพ ข และใช้เทคนิคที่อาจารย์บอก ทำให้ เร็วขึ้น แถมยังลดความผิดพลาดจากการคานวณอีกด้วย และหนูพยายามฝึกทำโจทย์เลขที่เป็นภาษาอังกฤษไม่ว่าจะเป็น SAT IGCSE หรือข้อสอบอื่นๆ ที่ใช้ภาษาอังกฤษตามที่อาจารย์แนะนำ ผลการสอบของ CU-AAT เดือนธันวาคม ที่ผ่านมา หนูได้คะแนน CU-AAT ในส่วนของเลข สูงที่สุดในชีวิตเลยค่ะ ได้เกือบ 550 คะแนน หนูก็รู้นะคะว่ามันไม่สูงสำหรับอาจารย์ แต่หนูภุมิใจคุ่ะ เสียดายที่หนูอยู่ ม. 6 แล้ว ถ้าหนูมีโอกาสอีกสักปี หนงึ่ หนูคงได้คะแนนสูงกว่านี ้ และคงเข้าคณะที่หนูอยากเข้าได้

Dr. Pok ตอบน้องทราย
ครับผม Dr. Pok ขอชื่นชมน้องทรายกับคะแนน 550 ที่น้องทรายได้มาจากความพยายามของน้องจนได้คะแนนที่สูงขึน้ และขอขอบคุณน้องทรายที่ได้แบ่งปันประสบการณ์อันมีค่า Dr. Pok ดีใจที่ Newsletter ได้สร้างคุณค่าให้กับน้องทราย และหวังว่า
น้องๆ ทุกคนคงได้รับประสบการณ์ที่ดีเหมือนกับน้องทรายทุกคนครับ

ลำดับเรขาคณิต(Geometric Sequences)

น้องๆ คงจาได้นะครับว่า Newsletter ฉบับที่แล้วเรียนรู้กับลำดับเลขคณิต (Arithmetic Sequences) ที่ผลต่างของพจน์ติดกันมีค่าเท่ากัน เช่น ลาดับเลขคณิต ของ 5, 8, 11, 14 … ทุกๆ พจน์ที่ติดกันมีค่าผลต่างเท่ากัน คือ 3 เป็นต้น สำหรับ Newsletter ฉบับนีน้ ้องๆ จะได้รู้จักลาดับเรขาคณิต (Geometric Sequences) โดยน้องๆ อาจจะเคยเห็นโจทย์ที่ว่า

Example 1: Find the general term (or n-th term) of the sequence: 3, 6, 12, 24…

Sequence ที่ให้มานีไม่ใช่ลาดับเลขคณิต หรือ Arithmetic sequence แน่นอนเพราะผลต่างของพจน์ที่ติดกันมีค่าไม่เท่ากัน โดยผลต่างของพจน์ที่สองกับพจน์ที่หนึ่งคือ 3 ขณะที่ผลต่างของพจน์ที่สามกับพจน์ที่สองคือ 6 แต่ที่น้องๆ เห็นคือผลหารของพจน์ติดกันมีค่าเท่ากัน กล่าวคือ ผลหารของพจน์ที่สองกับพจน์ที่หนึ่ง คือ 2 และผลหารของพจน์ที่สามกับพจน์ที่สองก็เท่ากับ 2 โดยค่าของผลหารนึ ้ เราเรียกกันว่า อัตราส่วนร่วม หรือ common ratio ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์ r

เหมือนเดิมครับ ถ้าน้องๆ เริ่มเรียนจากการท่องสูตรน้องๆ ก็คงจำได้ว่า n-th term สาหรับ Geometric Sequence คือ

โดย an คือ general term หรือ n-th term; a1 คือ ค่าของพจน์ หรือ term ที่หนึ่ง (first term) และ r คือ อัตราส่วนร่วม (common ratio) ซึ่งใน Example 1 ค่าของ term ที่หนึ่ง หรือ a1 คือ 3 และ อัตราส่วนร่วม หรือ r คือ 2 ดังนัน้ เราจะได้

และเราจัดรูปได้เป็น

แต่ถ้าน้องๆ สังเกตดูจะพบว่าสาหรับโจทย์ข้อนี้ common ratio คือ 2 น้องๆอาจจะมองได้ทันทีว่า an ในเบือ้งต้นน่าจะเท่ากับ 2n และน้องๆ ก็คงพอมองออกว่า Geometric sequence จริงๆ ก็คือ Exponential Function นนั่ เอง ขัน้ ต่อไปน้องลองแทน ว่า n = 1 เราจะได้ว่า a1 = 2 แต่โจทย์กาหนดมาว่าค่าของ term ที่หนึ่ง หรือ a1 เท่ากับ 3 ดังนัน้ n-th term หรือ an ที่น้องได้มาว่าเท่ากับ 2n ในเบื้องต้น ต้องถูกคูณด้วย 3/2 เพื่อที่จะให้ได้ค่า a1 เท่ากับ 3 เราจึงได้ว่า an ที่ถูกต้องคือ

Example 2: Find the general term of the sequence: 8, 32, 128, 512…

เหมือนเดิมครับ ก่อนอื่นน้องๆ ต้องรู้ว่าลาดับดังกล่าวเป็น Geometric sequence ที่มี common ratio (r) คือ 4 ดังนัน้ จะได้ว่า an ในเบื้องต้นต้องเท่ากับ  แต่เมื่อแทน n = 1 จะได้ว่า a1 เบือ้ งต้นเป็น 4 แต่น้องๆ ต้องการ a1 = 8 ดังนัน้ น้องๆ ต้องเอา 2 เข้าไปคูณในค่า an ในเบือ้ งต้นที่น้องๆ หามาได้เท่ากับ ซึ่ง น้องๆ จะได้ว่า an ที่ถูกต้องคือ

Example 3: Find the general term of the sequence: 2401, 343, 49 …

เช่นเดิมครับ หลังจากที่น้องทราบว่าเป็น Geometric sequence แต่น้องๆ ต้องระวังนะครับให้เอาพจน์ที่สองหารพจน์ที่หนึ่งนะครับ ซึ่งจะทาให้ค่า common ratio (r) คือ 1/7 และจะได้ an เบื้องต้น เท่ากับ  แต่เมื่อแทน n = 1 จะได้ว่า a1 = 1/7 ดังนัน้ ถ้าเราต้องการค่าพจน์แรกเท่ากับ 2401 น้องๆ ต้องคูณในค่า an ในเบื้องต้นที่น้องๆ หามาได้ด้วยค่า 16,807 เพื่อที่จะทาให้ค่า a1 = 2401 ซึ่งเราจะได้ว่า an ที่ถูกต้องจะเท่ากับ 16,807

หากน้องๆ สังเกตให้ดีนะครับ Example 2 เป็น Exponential function แบบ increasing function (ฟังก์ชั่นเพิ่ม) กล่าวคือเมื่อ n เพิ่มขึน้ ค่าของ an ก็จะเพิ่มขึน้ ไปด้วย ในขณะที่ Example 3 เป็น Exponential function แบบ decreasing function (ฟังก์ชั่นลด) กล่าวคือเมื่อ n เพิ่มขึน้ ค่าของ an ก็จะลดลง ซงึ่ หากน้องเข้าใจจะพบว่าสาเหตุที่ Example 2 เป็น increasing function เพราะ common ratio มีค่ามากกว่า 1 และ Example 3 เป็น decreasing function เพราะ common ratio มีค่าน้อยกว่า 1 แต่อย่าลืมนะครับต้องมากกว่า 0 ด้วย ตามหลักการของ Exponential function เห็นไหมครับตอนนี้น้องๆ ก็มีความรู้เพิ่มอีกหนึ่งอย่างแล้ว โดยที่ไม่ต้องอาศัยการท่องสูตรเลยครับ

คราวนี้น้องๆ มาดูข้อสอบ SAT กันครับ

Example 4: In sequence S, the 3rd term is 12, the 1st term is three times the 2nd term, and the 2nd term is three times the 3rd. What is the 1st term in sequence S
(A) 0 (B) 1/3 (C) 1 (D) 4 (E) 108

จากโจทย์ข้อนี้น้องจะรู้ทันทีว่าเป็น Geometric Sequence โดยมี common ratio เท่ากับ 1/3 ซึ่งน้องๆ อาจจะตัดตัวเลือกบางข้อได้ก่อนเลย เช่น คาตอบไม่มีทางเป็น 0 เพราะถ้าเป็น 0 ไม่สามารถทาให้เกิด common ratio ได้เมื่อค่าของพจน์ที่เป็น 0 กลายเป็นตัวหาร หรือ denominator เวลาที่เราหา common ratio นอกจากนี้น้องๆ ยังทราบว่าค่า common ratio น้อยกว่าหนงึ่ ซึ่งเมื่อมองไปที่ Exponential function น้องๆ จะทราบว่าเป็นฟังก์ชั่นลด หรือ Decreasing function ดังนัน้ ค่าของพจน์แรกต้องมากกว่า 12 แน่นอน ดังนัน้ จึงมีคาตอบเดียวที่น้องเลือกได้คือข้อ E ได้ทันที

แต่ในกรณีที่ไม่มีตัวเลือกให้น้อง ถ้าน้องๆ ต้องการทราบ an ก็ไม่ใช่เรื่องอยากเพราะan ในเบือ้ งต้นจะเท่ากับ  แต่ตอนนี้ น้องทราบ a3 = 12 น้องก็ลองแทน n = 3 ซึ่งเราจะได้ค่าเท่ากับ 1/27 ดังนัน้ เพื่อให้ได้ค่า 12 น้องๆ ต้องคูณ an ด้วย 324 ดังนัน้ an ที่ถูกต้องจะเท่ากับ 324 และโจทย์หา a1 ซึ่งก็จะเท่ากับ 324(1/3)= 108

เหมือนเดิมครับ Dr. Pok ต้องการจะบอกน้องๆ ว่า น้องๆ ต้องมีความคิดหลากหลาย และเลือกใช้วิธีการที่สัน้ ที่สุดในการหาคำตอบ เพื่อที่จะได้บรรลุ 800 คะแนนใน SAT หรือ CU-AAT ครับนี่ก็ใกล้จะถึงวันวาเลนไทน์วันแห่งความรักแล้ว น้อง ๆ บางคนอาจจะกาลังรอคอยว่าจะได้ของขวัญอะไรจากคนรัก บางคนก็อาจจะได้รับเซอร์ไพรส์จากคนที่แอบชอบเรา Dr. Pok ขอให้น้อง ๆ ทุกคนสุขสมหวังในวันวาเลนไทน์นะครับ